Question

17．已知函數(shù)f（x）=mx+$\frac{1}{x}$-2（m為參數(shù)）．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，求函數(shù)h（x）=xf（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x∈（0，1]恒有2^f（x）＞2，試確定參數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=1時(shí)，求出f（x）=x$+\frac{1}{x}$-2，根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程f（x）=0即可得出f（x）的零點(diǎn)；
（2）先求出h（x）=mx²-2x+1，從而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，求該函數(shù)在定義域{x|x≠0}上的單調(diào)遞減區(qū)間即可；
（3）不等式2^f（x）＞2等價(jià)于f（x）＞1，根據(jù)x＞0，從而進(jìn)一步等價(jià)于mx²-3x+1＞0①，m=0時(shí)容易看出上面不等式不能恒成立，從而可討論m：可設(shè)g（x）=mx²-3x+1，m＞0時(shí)，要使①成立，需△＜0，從而可得出$m＞\frac{9}{4}$；而m＜0時(shí)，容易得到g（x）＞0不能恒成立，從而最后寫(xiě)出m的取值范圍即可．

解答 解：（1）m=1時(shí)，f（x）=x$+\frac{1}{x}-2$；
∴解x+$\frac{1}{x}$-2=0得，x=1；
∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=1；
（2）h（x）=mx²-2x+1，m≠0；
∴h（x）為二次函數(shù)，且定義域?yàn)閧x|x≠0}；
h（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{m}$；
①若m＞0，則h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，$\frac{1}{m}$]；
②若m＜0，則h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{1}{m}$，0），（0，+∞）；
（3）由條件知，對(duì)任意的x∈（0，1]，f（x）＞1恒成立；
即$mx+\frac{1}{x}-3＞0$恒成立；
即mx²-3x+1＞0在x∈（0，1]上恒成立；
設(shè)g（x）=mx²-3x+1，m=0時(shí)顯然不符合條件；
①若m＞0，∵g（x）的對(duì)稱軸$x=\frac{3}{2m}＞0$；
∴只能△=9-4m＜0，即$m＞\frac{9}{4}$時(shí)滿足g（x）＞0恒成立；
②若m＜0，g（1）=m-2＜0；
∴g（x）＞0不恒成立；
∴綜上得，參數(shù)m的取值范圍為（$\frac{9}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)零點(diǎn)的定義及求法，解一元二次方程，以及二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法，注意h（x）的定義域，弄清二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)和二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)圖象．