Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點F₂是拋物線y²=4x的焦點，過點F₂垂直于x軸的直線被橢圓C所截得的線段長度為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點 P，且與直線x=2相交于點Q．請問：在x軸上是否存在定點 M，使得$\overrightarrow{{M}{P}}•\overrightarrow{{M}Q}$為定值？若存在，求出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點，由題意可得，橢圓C過點（1，±$\frac{3}{2}$），代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點M（x₁，0）滿足條件，設(shè)P（x₀，y₀），則Q（2，2k+m），聯(lián)立直線l方程和橢圓方程，運用判別式為0，求得m，k的關(guān)系，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），
則由題意可得，橢圓C過點（1，±$\frac{3}{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點M（x₁，0）滿足條件，設(shè)P（x₀，y₀），
則Q（2，2k+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
即3+4k²=m²，m≠0．
此時x₀=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3}{m}$，則P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
∴$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{4k}{m}$-x₁，$\frac{3}{m}$），$\overrightarrow{MQ}$=（2-x₁，2k+m），
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{4k}{m}$-x₁）（2-x₁）+$\frac{3}{m}$（2k+m）=（4x₁-2）•$\frac{k}{m}$+x₁²-2x₁+3，
∴當(dāng)4x₁-2=0即x₁=$\frac{1}{2}$時，x₁²-2x₁+3=$\frac{9}{4}$．
∴存在點M（$\frac{1}{2}$，0），使得$\overrightarrow{{M}{P}}•\overrightarrow{{M}Q}$為定值$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的焦點和點滿足橢圓方程，同時考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用判別式為0和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．