Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等邊三角形，AB=4，AA₁=5，點(diǎn)M是BB₁中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面A₁MC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)ME，利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，結(jié)合已知，只要判斷ME⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的判定定理證明；
（Ⅱ）過點(diǎn)A作AH⊥A₁C于點(diǎn)H，由（Ⅰ）知AH⊥平面AA₁C₁C，得到AH即為點(diǎn)A到平面A₁MC的距離，利用直角三角形A₁AC，可求

解答 （Ⅰ）證明：記AC₁與A₁C的交點(diǎn)為E．連結(jié)ME．
如圖
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，點(diǎn)M是BB₁中點(diǎn)，
∴MA₁=MA=MC₁=MC=$\frac{\sqrt{89}}{2}$．
因?yàn)辄c(diǎn)E是AC₁，A₁C的中點(diǎn)，
所以ME⊥AC₁且ME⊥A₁C，…（4分）
從而ME⊥平面AA₁C₁C．
因?yàn)镸E?平面A₁MC，所以平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C．…（6分）
（Ⅱ）解：過點(diǎn)A作AH⊥A₁C于點(diǎn)H，
如圖，

由（Ⅰ）知平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C，平面A₁MC∩平面AA₁C₁C=A₁C，
而AH⊥平面AA₁C₁C
∴AH即為點(diǎn)A到平面A₁MC的距離．…（9分）
在△A₁AC中，∠A₁AC=90°，
A₁A=5，AC=4∴${A}_{1}C=\sqrt{41}$
∴AH=$\frac{5×4}{\sqrt{41}}=\frac{20\sqrt{41}}{41}$
即點(diǎn)A到平面A₁MC的距離為$\frac{20\sqrt{41}}{41}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．屬于中檔題．