Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦EF與MN，當(dāng)直線EF斜率為0時(shí)，|EF|+|MN|=7．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|EF|+|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，MN=7-2a，再由點(diǎn)（c，$\frac{7-4c}{2}$）在橢圓上，能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在時(shí)，|EF|+|MN|=7；當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線EF的方程為y=k（x-1），直線MN的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．由此能求出|EF|+|MN|，從而能求出其取值范圍．

解答 解：（1）由題意知，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，|MN|=7-2a，
所以a²=4c²，b²=3c²，…2分
因?yàn)辄c(diǎn)（c，$\frac{7-4c}{2}$）在橢圓上，
即$\frac{{c}^{2}}{{4c}^{2}}$+$\frac{{（\frac{7-4c}{2}）}^{2}}{{3c}^{2}}$=1，解得：c=1．
所以橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，
由題意知|EF|+|MN|=7，
②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，
設(shè)直線EF的方程為y=k（x-1），
則直線MN的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
將直線EF的方程代入橢圓方程中，
并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁=$\frac{{4k}^{2}-6\sqrt{{k}^{2}+1}}{3+{4k}^{2}}$，x₂=$\frac{{4k}^{2}+6\sqrt{{k}^{2}+1}}{3+{4k}^{2}}$，
∴|EF|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{12{（k}^{2}+1）}{3+{4k}^{2}}$，同理，|MN|=$\frac{12{（k}^{2}+1）}{{3k}^{2}+4}$，
∴|EF|+|MN|=$\frac{8{4{（k}^{2}+1）}^{2}}{（3+{4k}^{2}）（{3k}^{2}+4）}$，
令t=k²+1，則t＞1，3+4k²=4t-1，3k²+4=3t+1，
設(shè)f（t）=$\frac{（4t-1）（3t+1）}{{t}^{2}}$=-${（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{49}{4}$，
∵t＞1，∴$\frac{1}{t}$∈（0，1），
∴f（t）∈（12，$\frac{49}{4}$），
∴|EF|+|MN|=$\frac{84}{f（t）}$∈[$\frac{48}{7}$，7]．
綜合①與②可知，AB+CD的取值范圍是[$\frac{48}{7}$，7]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，考查兩條線段和的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．