Question

11．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}，首項a₁=2，S_n為其前n項和，且2S₁，2S₂，3S₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式及通項公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
2S₁，2S₂，3S₃成等比數(shù)列，可得（2S₂）²=2S₁•3S₃，
即有（4a₁+2d）²=2a₁•3（3a₁+3d），
由a₁=2，可得d²-d-2=0，
解得d=2（-1舍去），
則a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）b_n=$\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則前n項和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．