Question

3．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）（n≥2，且n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{a_n+$\frac{1}{2}$}為等比數(shù)列，并求出a_n；
（2）（1）證明：$\frac{1+_{n}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$（n≥2，且n∈N^*）．
（2）證明：（1+$\frac{1}{_{1}}$）（1+$\frac{1}{_{2}}$）…（1+$\frac{1}{_{n}}$）＜3（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2S_n+n+1化簡可得a_n+2+$\frac{1}{2}$=3（a_n+1+$\frac{1}{2}$），從而證明為等比數(shù)列，從而求a_n；
（2）由b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）可求得b_n+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），b_n+1=a_n+1（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），從而證明；
（3）①當n=1時，1+$\frac{1}{_{1}}$=2＜3，
②當n≥2時，化簡可得1+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1+_{n}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n}_{n+1}}{_{n}{a}_{n+1}}$，從而可得（1+$\frac{1}{_{1}}$）（1+$\frac{1}{_{2}}$）…（1+$\frac{1}{_{n}}$）=2•$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$•$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=2•$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=2•（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），從而利用放縮法證明．

解答 證明：（1）∵a_n+1=2S_n+n+1，
∴a_n+2=2S_n+1+n+2，
∴a_n+2-a_n+1=2a_n+1+1，
∴a_n+2+$\frac{1}{2}$=3（a_n+1+$\frac{1}{2}$），
又∵a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，a₂=2S₁+1+1=4，a₂+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴數(shù)列{a_n+$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$為首項，3為公比的等比數(shù)列，
故a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
故a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$；
（2）∵b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），
∴b_n+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
b_n+1=a_n+1（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴$\frac{1+_{n}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$（n≥2，且n∈N^*）．
（3）證明：①當n=1時，1+$\frac{1}{_{1}}$=2＜3，
②當n≥2時，由題意知，b₁=1，b₂=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，
∵當n≥2時，$\frac{1+_{n}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，
∴1+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1+_{n}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n}_{n+1}}{_{n}{a}_{n+1}}$，
∴（1+$\frac{1}{_{1}}$）（1+$\frac{1}{_{2}}$）…（1+$\frac{1}{_{n}}$）
=2•$\frac{{a}_{2}_{3}}{_{2}{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{3}_{4}}{_{3}{a}_{4}}$•…•$\frac{{a}_{n}_{n+1}}{_{n}{a}_{n+1}}$
=2•$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$•$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$
=2•$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$
=2•（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=2（$\frac{2}{3-1}$+$\frac{2}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{2}{{3}^{n-1}-1}$+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）
=2（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{26}$+…+$\frac{2}{{3}^{n-1}-1}$+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）
＜2（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=2（1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$）
=2（1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$））＜3．

點評 本題考查了數(shù)列的性質的判斷與應用，同時考查了分類討論及轉化思想的應用及放縮法的應用．