Question

14．（1）求證：$\sqrt{2}$是無理數(shù)．
（2）設a，b，c為一個三角形的三邊，且s²=2ab，這里s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），試證：s＜2a．

Answer 1

分析 （1）利用反證法進行證明；
（2）由a，b，c為一個三角形的三邊，可得a+c＞b，s＞b，故s²＞sb，即2ab＞sb，從而證得s＜2a．

解答 證明：（1）假設$\sqrt{2}$是有理數(shù)，那么就有兩個互素整數(shù)m，n使得$\sqrt{2}$=$\frac{m}{n}$，即m=$\sqrt{2}$n．
兩邊平方得：m²=2n²．
∴m²是偶數(shù)，從而m也是偶數(shù)，
令m=2q，代入上式得：2q²=n²．  
于是n也是偶數(shù)．這與前面假設m，n互素矛盾
故$\sqrt{2}$不可能是有理數(shù)．
（2）∵a，b，c為一個三角形的三邊，∴a+c＞b． 
∵s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
∴s＞b，∴s²＞sb．
又s²=2ab，∴2ab＞sb，
∴s＜2a．

點評 本題考查（1）反證法的運用，（2）考查三角形的任意兩邊之和大于第三邊，不等式的性質(zhì)的應用，證得s＞b，是解題的關鍵．