Question

1．如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點F是PB的中點，點E是邊BC上的任意一點．
（1）求證：AF⊥EF．
（2）若PA=2，求三棱錐P-ADF的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，從而PA⊥BC，進而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能證明AF⊥EF．
（2）利用等體積轉(zhuǎn)換，求三棱錐P-ADF的體積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，
∴PA⊥平面ABCD，又BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，F(xiàn)是PB中點，
∴AF⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵EF?平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：由（1）知AD∥BC，BC⊥平面PAB，
則AD⊥平面PAB，即AD⊥平面PAF         
又∵PA=AB=AD=2，PA⊥AB，PA⊥AD，
∴AB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AF=PF=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{2}$．
又AF⊥PB，∴S_△PAF=$\frac{1}{2}×PF×AF$=1
∴V_P-ADF=V_D-PAF=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$
即三棱錐P-ADF的體積為$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．