Question

已知點(diǎn)（

2

，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，函數(shù)g（x）=2mx+

1

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），若對于任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上是接近的，否則稱f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上是非接近的．
①f₁（x）=sinx，f₂（x）=x，判斷f₁（x），f₂（x）在區(qū)間[-π，π]上是否接近的，若是，請證明，不是，舉個(gè)反例說明；
②若f（x）和g（x）在區(qū)間[1，2]上是接近的，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用,冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系,冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求f（x）的解析式；
（2）①舉反例即可得到結(jié)論．
②將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)恒成立問題即可得到結(jié)論．

解答： （1）設(shè)冪函數(shù)為f（x）=x^α，∵點(diǎn)（

2

，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，
∴f（

2

）=(

2

)α=2，解得α=2，即f（x）=x²．
（2）①設(shè)m（x）=sinx-x，則m′（x）=-cosx-1＜0，則函數(shù)m（x）在區(qū)間[-π，π]上單調(diào)遞減，
則m（π）≤m（x）≤m（-π），即-π≤m（x）≤π，
則|m（x）|≤π，當(dāng)x=-

π

2

時(shí)，
|m（x）|=|1+

π

2

|=1+

π

2

≤1不成立，故f₁（x），f₂（x）在區(qū)間[-π，π]上不是接近的．
②若f（x）和g（x）在區(qū)間[1，2]上是接近的，
則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，|f（x）-g（x）|=|x²-2mx+

1

2

|≤1，
即-1≤x²-2mx+

1

2

≤1，
即-

3

2

≤x²-2mx≤

1

2

，在[1，2]恒成立，
即

2m≤x+ 3 2 x 2m≥x- 1 2x

成立，
∵函數(shù)y=x+

3 2

x

≥2

x• 3 2x

=

6

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

2x

，即x=

3 2

=

6

2

取等號，
∴此時(shí)2m≤

6

，即m≤

6

2

．
∵函數(shù)y=x-

1

2x

在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值y=2-

1

4

=

7

4

，
即2m≥

7

4

，則m≥

7

8

，
綜上

7

8

≤m≤

6

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查冪函數(shù)的解析式的求解，以及不等式恒成立問題，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．