Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為a，側(cè)面B₁C₁CB⊥底面ABC，且AC₁⊥BC．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求二面角B₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)A₁C，由菱形性質(zhì)得A₁C⊥AC₁，又AC₁⊥BC，所以AC₁⊥平面A₁BC，由此能證明AC₁⊥A₁B．
（Ⅱ）過A₁點作AE⊥AC，交AC于E，由已知條件得BE⊥AC，AE=EC=

1

2

a，異面直線AC與BC₁所成角即為∠BC₁A₁，由此能求出二面角B₁-AB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為a，
∴ACC₁A₁是菱形，
連結(jié)A₁C，由菱形性質(zhì)得A₁C⊥AC₁，
又AC₁⊥BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵A₁B?平面A₁BC，∴AC₁⊥A₁B．
（Ⅱ）解：過A₁點作AE⊥AC，交AC于E，
∵側(cè)面B₁C₁CB⊥底面ABC，
∴A₁E⊥BE，∴BE⊥AC，AE=EC=

1

2

a，
面A₁ACC₁⊥面A₁EB，∠BA₁C₁=90°
異面直線AC與BC₁所成角即為∠BC₁A₁，
由題意求出BC₁=

10

2

a，
∴cos∠BC₁A₁=

A1C1

BC1

=

a

10 2 a

=

10

5

．
∴二面角B₁-AB-C的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．