Question

17．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AC₁與BB₁所成的角；
（2）求四面體B₁C₁CD的體積．

Answer 1

分析 （1）由BB₁∥CC₁可知∠AC₁C為所求角，由CC₁⊥底面ABC，AC=CC₁可知△ACC₁為等腰直角三角形；
（2）取BC中點(diǎn)F，則DF為棱錐D-BCC₁的高，底面為直角三角形BCC₁，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵BB₁∥CC₁，
∴∠AC₁C為異面直線AC₁與BB₁所成的角，
∵CC₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC，又AC=CC₁，
∴△ACC₁是等腰直角三角形，
∴$∠AC{C}_{1}=\frac{π}{4}$，即異面直線AC₁與BB₁所成的角為$\frac{π}{4}$．
（2）取BC中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}AC$=1．
∵AC⊥CC₁，AC⊥BC，CC₁∩BC=C，CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴DF⊥平面BCC₁B₁，
∵AC=BC=B₁C₁=CC₁=2，
∴S${\;}_{{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴四面體B₁C₁CD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}•DF$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．