Question

9．已知直線l：y=kx與橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$交于A、B兩點(diǎn)，其中右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，0），且AF與BF垂直，則橢圓C的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• C． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$

Answer 1

分析 由AF與BF垂直，運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，再由橢圓的性質(zhì)可得c＞b，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到所求范圍．

解答 解：由AF與BF垂直，
運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，
可得||OA|=|OF|=c，
由|OA|＞b，即c＞b，可得c²＞b²=a²-c²，
即有c²＞$\frac{1}{2}$a²，
可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的范圍，注意運(yùn)用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，以及離心率公式和弦長的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．