Question

5．已知圓C₁：x²+y²+2x+2y-2=0與圓C₂：x²+y²-2ax-2by+a²-1=0，若a，b變化時，圓C₂始終平分圓C₁的周長，則圓C₂的面積最小值時的方程為（x+1）²+（y+2）²=5．．

Answer 1

分析 把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線l方程，由題意知直線l經(jīng)過圓C₁的圓心，得a²+2a+2b+5=0，可得b≤-2，由圓C₂的方程可得半徑為$\sqrt{1+^{2}}$≥$\sqrt{5}$，由此求得此時圓C₂的方程．

解答 解：把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線l方程為2（a+1）x+2（b+1）y-a²-1=0，
由題意知直線l經(jīng)過圓C₁的圓心（-1，-1），因而 a²+2a+2b+5=0．
所以2b+4=-（a+1）²≤0，
所以b≤-2，
圓C₂：（x-a）²+（y-b）²=1+b²，其半徑為$\sqrt{1+^{2}}$．
因而$\sqrt{1+^{2}}$，
此時圓C₂：（x+1）²+（y+2）²=5．
故答案為：（x+1）²+（y+2）²=5．

點評 本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及其判定，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．