Question

2．已知a，b∈R，a²-2ab+5b²=4，則ab的最小值為$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 a²-2ab+5b²=4，配方為（a-b）²+（2b）²=4，令a-b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．可得ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2θ-α），即可得出．

解答 解：a²-2ab+5b²=4，配方為（a-b）²+（2b）²=4，
令a-b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．
∴b=sinθ，a=sinθ+2cosθ，
∴ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=sin²θ+sin2θ=$sin2θ+\frac{1-cos2θ}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2θ-α），tanα=$\frac{1}{2}$．
∴當sin（2θ-α）=-1，
ab取得最小值：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了配方法、三角函數代換法、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．