Question

6．在當(dāng)今社會(huì)，隨科技的進(jìn)步，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價(jià)格x（單位：元/套）滿足的關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{a}{x-2}$+4（x-6）²，其中2＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大．（保留1位小數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得$\frac{a}{2}$+16=21，從而解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知套題每日的銷售量y=$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²，從而可得每日銷售套題所獲得的利潤f（x）=（x-2）[$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²]=4x³-56x²+240x-278（2＜x＜6）；求導(dǎo)f′（x）=4（3x-10）（x-6），從而確定函數(shù)的單調(diào)性與最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵x=4時(shí)，y=21，
∴$\frac{a}{2}$+16=21，
解得，a=10；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
套題每日的銷售量y=$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²，
所以每日銷售套題所獲得的利潤
f（x）=（x-2）[$\frac{10}{x-2}$+4（x-6）²]
=10+4（x-6）²（x-2）
=4x³-56x²+240x-278（2＜x＜6）；
則f′（x）=4（3x-10）（x-6），
故f（x）在（2，$\frac{10}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{10}{3}$，6）上單調(diào)遞減；
∴x=$\frac{10}{3}$是函數(shù)f（x）在（2，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；
∴當(dāng)x≈3.3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．