Question

1．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過橢圓上的點P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形F₁F₂PQ為菱形，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由已知得P（2c，$b\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），Q（0，b$\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），由此利用F₁Q²=OF₁²+OQ²，推導出4e⁴-8e²+1=0，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
過橢圓上的點P作y軸的垂線，垂足為Q，四邊形F₁F₂PQ為菱形，
∴P（2c，$b\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），Q（0，b$\sqrt{1-\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}}$），
∵F₁Q²=OF₁²+OQ²，
∴4c²=c²+b²（1-$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$），整理，得：3a²c²=（a²-c²）（a²-4c²），
∴4e⁴-8e²+1=0，
由0＜e＜1，解得e=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓離心率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．