Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（2x-$\frac{π}{6}$），cos²$\frac{π}{4}$-cos²x），$\overrightarrow$=（1，-2），函數(shù)$f（x）=\vec a•\vec b（x∈R）$
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）f（x）圖象可以由y=sinx經(jīng)過怎樣的變換而得到？
（3）求在$x∈（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}）$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出結(jié)論．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=sin$（2x-\frac{π}{6}）$+2cos²x-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin$（2x+\frac{π}{6}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}=2x+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，求得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈Z．
（2）把 y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$，可得y=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．                 
（3）因為$x∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，所以$2x+\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，得$sin（2x+\frac{π}{6}）∈（-\frac{1}{2}，1]$，
∴f（x）的值域為$（-\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．