Question

（1）已知函數(shù)f（x）=log₃（ax²-ax+1）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（x）=log₃（ax²-ax+1）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=log₃（ax²-ax+1）的定義域為R，則真數(shù)恒大于0，然后對a分類討論進行求解，當(dāng)a=0時滿足題意，當(dāng)a≠0時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題即可．
（2）此函數(shù)的值域為R，等價于真數(shù)ax²-ax+2能取遍一切正實數(shù)，由a=0時，顯然成立，a≠0時，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)得關(guān)于a的不等式，即可解得a的范圍；

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₃（ax²-ax+1）的定義域為R，
∴說明對任意的實數(shù)x，都有ax²-ax+1＞0成立，
當(dāng)a=0時，1＞0顯然成立，
當(dāng)a≠0時，需要

a＞0 △＜0

，即

a＞0 a2-4a＜0

解得0＜a＜4．
綜上，函數(shù)f（x）=log₃（ax²-ax+1）的定義域為R的實數(shù)a的取值范圍是[0，4）．
（2）若函數(shù)y=log₂（ax²+2x+1）的值域為R，故函數(shù)y=ax²+2x+1能取遍所有的正數(shù)．
當(dāng)a=0時不符合條件；
∵函數(shù)y=lg（ax²-2x+2）的值域為R，
∴ax²-2x+2＞0的解為R⁺，
當(dāng)a＞0時，應(yīng)有△=a²-4a≥0，解得a≥4，或a≤0，故a≥4，
綜上知實數(shù)a的取值范圍是[4，+∞），

點評：本題主要考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的值域的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法