Question

10．已知函數(shù)h（x）=1+ax²（a為實(shí)數(shù)），f（x）=$\frac{{e}^{x}}{h（x）}$（e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)F（x）=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（2）由題意可得f（x）=m有3個(gè)不等實(shí)根，求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，令t（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)，可得1+ax²-2ax=0有兩個(gè)不等實(shí)根，由判別式大于0，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，函數(shù)h（x）=1-4x²，
f（x）=$\frac{{e}^{x}}{h（x）}$=$\frac{{e}^{x}}{1-4{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-4{x}^{2}+8x）}{（1-4{x}^{2}）^{2}}$，
由f′（x）＞0可得1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且x≠$\frac{1}{2}$；由f′（x）＜0可得x＜1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且x≠-$\frac{1}{2}$或x＞1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）；減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$.1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）∪（1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)F（x）=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，
即有f（x）=m有3個(gè)不等實(shí)根，即$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$=m，
令t（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，t′（x）=$\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}-2ax）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$．
可得1+ax²-2ax=0有兩個(gè)不等實(shí)根，
即有△=4a²-4a＞0，
解得a＞1或a＜0，
由a＞0可得a＞1．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．