Question

【題目】已知橢圓：（）過點(diǎn)與.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)，且傾斜角為的直線和橢圓交于、兩點(diǎn)，對于橢圓上任一點(diǎn)，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得到關(guān)于，的方程組，求解可得，的值，則橢圓的方程可求；

（2）由（1）知，，，由題意可知的方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于的一元二次方程，由，，在橢圓上及根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由基本不等式求最值．

解：（1）∵橢圓過點(diǎn)與，∴，.

∴，，∴橢圓的方程為.

（2）由（1）知，由題意可知的方程為，①

橢圓的方程可化為，②

將①代入②消去，得，③

設(shè)，，則有，，

設(shè)，由得，

∴又點(diǎn)在橢圓上，

∴

，④

又，在橢圓上，故有，，⑤

而

，⑥

將⑤⑥代入④可得，

∵，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則的最大值為.