Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當x∈[-1，0）時，f(x)=2x+

1

x2

(x∈R)．
（1）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求當x∈（0，1]時的f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），
∵當x∈[-1，0）時，f(x)=2x+

1

x2

(x∈R)．
∴當-x∈[-1，0）時，f（-x）=-2x+

1

x2

，
∵y=f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-2x+

1

x2

=-f（x），
即f（x）=2x-

1

x2

，
（2）任取0＜x₁＜x₂≤1，
則f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+(

1

x1

)2-(

1

x2

)2
=2(x1-x2)+

(x1-x2)(x1+x2)

x1x2

=(x1-x2)(2+

x1+x2

x1x2

)，
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，2+

x1+x2

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，1]上的單調(diào)遞增，為增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性的定義和奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．