Question

已知曲線C的方程：x²+y²-2x+4y+k=0
（1）若方程表示圓，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=-4時，是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過原點．若存在，求出直線m的方程； 若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）由已知得（-2）²+4²-4k＞0，由此能求出k的取值范圍．
（2）直線m方程為y=x+b根據(jù)題意，直線與圓兩交點分別與原點連線相互垂直，由此能求出直線m的方程．

解答： 解：（1）∵曲線C的方程：x²+y²-2x+4y+k=0表求圓，
∴（-2）²+4²-4k＞0，
解得k＜5．
∴k的取值范圍是（-∞，5）．
（2）直線m方程為y=x+b
根據(jù)題意，直線與圓兩交點分別與原點連線相互垂直
把y=x+b代入x²+y²-2x+4y-4=0，得：
2x²+2（b+1）x+（b²+4b-4）=0
2y²-2（b-3）y+（b²+2b-4）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=b²+4b-4，y₁y₂=b²+2b-4，

y1

x1

•

y2

x2

=-1，

b2+2b-4

b2+4b-4

=-1，
解得b=-4，或b=1，
∴直線m的方程為y=x-4或y=x+1．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系的合理運用．