Question

已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是橢圓的右、右頂點(diǎn)，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，以為直徑的圓記為，過點(diǎn)引圓的切線，求此切線的方程；
（3）設(shè)為直線上的點(diǎn)，是圓上的任意一點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）存在定點(diǎn)

試題分析：（Ⅰ）依題意，，
所以橢圓的方程為，
代入D點(diǎn)坐標(biāo)，解得，由此得，
所以橢圓的方程為．                     （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故圓的方程為，
則由知，點(diǎn)在圓上，
因為，所以切線的斜率為，
故所求切線的方程為，
即．                           （8分）
（Ⅲ）設(shè)，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，
則，
點(diǎn)在圓C：上，，
化簡得，
因為該式對任意的恒成立，則解得
故存在定點(diǎn)對于直線上的點(diǎn)及圓上的任意一點(diǎn)使得成立．                           （12分）
點(diǎn)評：從近幾年課標(biāo)地區(qū)的高考命題來看，解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及范圍、最值、定點(diǎn)、定值、存在性等問題，直線與多種曲線的位置關(guān)系的綜合問題將會逐步成為今后命題的熱點(diǎn)，尤其是把直線和圓的位置關(guān)系同本部分知識的結(jié)合，將逐步成為今后命題的一種趨勢.近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)了以函數(shù)、平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何、數(shù)學(xué)思想方法等知識為背景，綜合考查運(yùn)用圓錐曲線的有關(guān)知識分析問題、解決問題的能力，試題風(fēng)格每年都有所創(chuàng)新，但總體穩(wěn)定.