Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），長軸長6．
（1）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求過點(diǎn)（0，2）的直線被橢圓C所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

（1）由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，其中c=2

2

，a=3，從而b=1，
所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：

x2

9

+y2=1．
聯(lián)立方程組

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
那么：x1+x2=-

18

5

，x0=

x1+x2

2

=-

9

5

，
所以y0=x0+2=

1

5

，
也就是說線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

9

5

，

1

5

)；
（2）設(shè)直線方程為y=kx+2，
把它代入x²+9y²=9，
整理得：（9k²+1）x²+36kx+27=0，
要使直線和橢圓有兩個不同交點(diǎn)，則△＞0，即k＜-

3

3

或k＞

3

3

，
設(shè)直線與橢圓兩個交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)坐標(biāo)為C（x，y），
則x=

x1+x2

2

=

-18k

9k2+1

，y=

-18k

9k2+1

+2=

2

9k2+1

，
從參數(shù)方程

x= -18k 9k2+1 y= 2 9k2+1

（k＜-

3

3

或k＞

3

3

），
消去k得：x²+9（y-1）²=9，且|x|＜3，0＜y＜

1

2

．
綜上，所求軌跡方程為x²+9（y-1）²=9，其中|x|＜3，0＜y＜

1

2

．