Question

14．如圖所示，已知ΘO₁和ΘO₂相交于A，B兩點(diǎn)．過點(diǎn)A作ΘO₁的切線交ΘO₂于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交ΘO₁，ΘO₂于點(diǎn)D，E，DE與AC相交于點(diǎn)P，

（Ⅰ）求證：PE•AD=PD•CE；
（Ⅱ）若AD是ΘO₂的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AB，根據(jù)弦切角定理和圓周角定理的推論得到∠CAB=∠D，∠CAB=∠E，則∠F=∠D，根據(jù)內(nèi)錯角相等，得到AD∥CE，即可證明PE•AD=PD•CE；
（Ⅱ）利用△PCE∽△PAD，結(jié)合相交弦定理，切割線定理，即可求AD的長．

解答 （1）證明：連接AB，
∵CA切⊙O₁于A，
∴∠CAB=∠D，
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠D．
∴AD∥CE，
∴△PCE∽△PAD．
∴$\frac{PE}{PD}=\frac{CE}{AD}$．
∴PE•AD=PD•CE；
（Ⅱ）解：設(shè)BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴xy=12①
∵△PCE∽△PAD，
∴$\frac{DP}{EP}=\frac{AP}{CP}$，
∴$\frac{9+x}{y}=\frac{6}{2}$②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-12}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍去），
∴DE=9+x+y=16，
∵AD是ΘO₂的切線，
∴AD²=DB•DE=9×16，
∴AD=12．

點(diǎn)評 本題考查三角形相似的證明，考查相交弦定理，切割線定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．