Question

4．如圖，平面ABCD⊥平面PAB，且四邊形ABCD為正方形，△PAB為正三角形，M為PD的中點(diǎn)，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若E為BC的中點(diǎn)，求證：AM⊥平面PDE；
（2）若三棱錐A-PEM的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）取AP的中點(diǎn)O，連接MO，BO．又DM=MP，利用正方形的性質(zhì)與三角形中位線定理可得：四邊形MOBE為平行四邊形，EM∥OB．由△PAB為正三角形，可得BO⊥AP，利用面面線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得：AD⊥平面ABP，得到AD⊥OB，因此OB⊥平面PAD，OB⊥AM，．由AP=AD，M為PD的中點(diǎn)，可得AM⊥PD．即可證明：AM⊥平面PDE；
（2）BC∥AD，可得：BC∥平面PAD．由（I）可知：OB⊥平面PAD，故OB為三棱錐E-APM的高，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，利用V_E-APM=$\frac{1}{3}{S}_{△APM}$•OB=$\frac{\sqrt{3}}{24}{a}^{2}$．又V_E-APM=V_A-EPM，即可解出．

解答 （1）證明：取AP的中點(diǎn)O，連接MO，BO．又DM=MP，
∴$MO\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，又$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，
∴$MO\underset{∥}{=}EB$，
∴四邊形MOBE為平行四邊形，
∴EM∥OB．
∵△PAB為正三角形，∴BO⊥AP，
由四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABP，OB?平面PAB，∴AD⊥OB，
又PA∩AD=A，∴OB⊥平面PAD．
又AM?平面PAD，∴OB⊥AM，即EM⊥AM．
又AP=AD，M為PD的中點(diǎn)，∴AM⊥PD．
又EM∩PD=M，∴AM⊥平面PDE；
（2）解：BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD．
∴BC∥平面PAD．由（I）可知：OB⊥平面PAD，故OB為三棱錐E-APM的高，
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則V_E-APM=$\frac{1}{3}{S}_{△APM}$•OB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{24}{a}^{2}$．
又V_E-APM=V_A-EPM，∴$\frac{\sqrt{3}}{24}{a}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得a=3．
即正方形的邊長a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、正方形與正三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．