Question

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，則函數(shù)y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）的值域為

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的值域與最值,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用已知條件化簡所求函數(shù)的解析式，通過x的范圍，求解log₃x的范圍，然后求解函數(shù)的最值．

解答： 解：f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
所以log₃x∈[0，2]，
函數(shù)y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）=（2+log₃x）²+2+

1

2

log₃x
令t=log₃x，
∴函數(shù)y=t²+

9

2

t+6．t∈[0，2]，
函數(shù)的對稱軸為t=-

9

4

∉[0，2]函數(shù)的開口向上，在t∈[0，2]是增函數(shù)，
函數(shù)的最小值為：6，最大值為：19．
函數(shù)y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）的值域為：[6，19]．
故答案為：[6，19]．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．