Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）的可導(dǎo)函數(shù)，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，$\frac{2f（x）+xf′（x）}{x-1}$＞0，若曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率為-$\frac{3}{4}$，則f（1）=$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x），討論x＞1，0＜x＜1時(shí)，g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，可得g′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f′（1）=-$\frac{3}{4}$，即可得出．

解答 解：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，$\frac{2f（x）+xf′（x）}{x-1}$＞0，
可得：x＞1時(shí)，2f（x）+xf′（x）＞0；1＞x＞0時(shí)，2f（x）+xf′（x）＜0．
令g（x）=x²f（x），x∈（0，+∞）．
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]．
可得：x＞1時(shí)，g′（x）＞0；1＞x＞0時(shí)，g′（x）＜0．
可得：函數(shù)g（x）在x=1處取得極值，
∴g′（1）=2f（1）+f′（1）=0，f′（1）=-$\frac{3}{4}$，
∴f（1）=$-\frac{1}{2}×（-\frac{3}{4}）$=$\frac{3}{8}$．
故答案為：$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值及其切線斜率，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．