Question

13．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R），使得OA⊥OB？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并得到a，c的關(guān)系，聯(lián)立求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式求得滿足OA⊥OB成立的直線l：y=kx+m存在．

解答 解：（1）由題意：設(shè)橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，即a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R），使得OA⊥OB．理由如下：
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡(jiǎn)得3+4k²＞m²．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
化簡(jiǎn)得，7m²=12+12k²，將k²=$\frac{7}{12}$m²-1代入3+4k²＞m²中，
得3+4×（$\frac{7}{12}$m²-1）＞m²，解得：m²＞$\frac{3}{4}$．
又由7m²=12+12k²≥12，得m²≥$\frac{12}{7}$，即m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$或m≤-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（-∞，-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題