Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)所給函數(shù)f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，及數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）即可獲得{a_n}的遞推關(guān)系，然后通過推出 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2得到證明．

解答 證明：由已知得，a_n+1=f（a_n）可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{2a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2．a(chǎn)₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差d=2的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的判定，揭示了函數(shù)和數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．