Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-1}，（{x≥2}）\\ 2，（{1≤x＜2}）\end{array}\right.$，若方程f（x）=ax+1恰有一個(gè)解時(shí)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍$（0，\frac{1}{2}）∪（{\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}，1}]$．

Answer 1

分析 由題意作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-1}，（{x≥2}）\\ 2，（{1≤x＜2}）\end{array}\right.$與y=ax+1的圖象，利用斜率公式求求直線n，l的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求直線m的斜率，從而解得．

解答 解：作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-1}，（{x≥2}）\\ 2，（{1≤x＜2}）\end{array}\right.$與y=ax+1的圖象如下，
，
y=ax+1恒過點(diǎn)（0，1），
當(dāng)直線y=ax+1過點(diǎn)（2，2）時(shí)，則$a=\frac{1}{2}$，滿足方程有兩個(gè)解；
當(dāng)直線y=ax+1與$f（x）=2\sqrt{x-1}$相切時(shí)，則$a=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$，滿足方程有兩個(gè)解；
直線l的斜率為a=$\frac{2-1}{1-0}$=1，
故所求范圍為$（0，\frac{1}{2}）∪（{\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}，1}]$，
故答案為：$（0，\frac{1}{2}）∪（{\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}，1}]$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用．