Question

15．已知x∈R，設(shè)$\vec m=（2cosx\;，\;sinx+cosx）$，$\vec n=（\sqrt{3}sinx\;，\;sinx-cosx）$，記函數(shù)$f（x）=\vec m•\vec n$．
（1）求函數(shù)f（x）取最小值時(shí)x的取值范圍；
（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f（C）=2，$c=\sqrt{3}$，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到f（x）=$2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；
（2）先求出C的大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出ab≤3，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．

解答 解：（1）$f（x）=\vec m•\vec n=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x$=$2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$． 
當(dāng)f（x）取最小值時(shí)，$sin（{2x-\frac{π}{6}}）=-1$，$2x-\frac{π}{6}=2kπ-\frac{π}{2}$，k∈Z，
所以，所求x的取值集合是$\left\{{x\left|{x=kπ-\frac{π}{6}\;，\;k∈{Z}}\right.}\right\}$．  
（2）由f（C）=2，得$sin（{2C-\frac{π}{6}}）=1$，
因?yàn)?＜C＜π，所以$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
所以$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$C=\frac{π}{3}$．  
在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得3=a²+b²-ab≥ab，即ab≤3，
所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
因此△ABC的面積S的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和二倍角公式和兩角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題．