【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)證明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)連結BC1 , 交B1C于點O,連結AO, ∵側面BB1C1C為菱形,
∴BC1⊥B1C,且O為BC1和B1C的中點,
又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,
∵AO平面ABO,∴B1C⊥AO,
又B10=CO,∴AC=AB1 ,
(Ⅱ)∵AC⊥AB1 , 且O為B1C的中點,∴AO=CO,
又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,
∴OA,OB,OB1兩兩垂直,
以O為坐標原點, 的方向為x軸的正方向,| |為單位長度,
的方向為y軸的正方向, 的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系,
∵∠CBB1=60°,∴△CBB1為正三角形,又AB=BC,
∴A(0,0, ),B(1,0,0,),B1(0, ,0),C(0, ,0)
∴ =(0, , ), = =(1,0, ), = =(﹣1, ,0),
設向量 =(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,
則 ,可取 =(1, , ),
同理可得平面A1B1C1的一個法向量 =(1,﹣ , ),
∴cos< , >= = ,
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為
【解析】(1)連結BC1 , 交B1C于點O,連結AO,可證B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,進而可得AC=AB1;(2)以O為坐標原點, 的方向為x軸的正方向, 為單位長度, 的方向為y軸的正方向, 的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系,分別可得兩平面的法向量,可得所求余弦值.
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【題目】在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E為棱CC1上的動點.
(1)若E為棱CC1的中點,求證:A1E⊥平面BDE;
(2)試確定E點的位置使直線A1C與平面BDE所成角的正弦值是 .
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【題目】已知橢圓C中心在原點,離心率 ,其右焦點是圓E:(x﹣1)2+y2=1的圓心.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)如圖,過橢圓C上且位于y軸左側的一點P作圓E的兩條切線,分別交y軸于點M、N.試推斷是否存在點P,使 ?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , S3=﹣15,且a1+1,a2+1,a4+1成等比數(shù)列,公比不為1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】設奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣7,﹣3]上是減函數(shù)且最大值為﹣5,函數(shù)g(x)= ,其中a< .
(1)判斷并用定義法證明函數(shù)g(x)在(﹣2,+∞)上的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間[3,7]上的最小值.
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【題目】已知命題p:k2﹣8k﹣20≤0,命題q:方程 =1表示焦點在x軸上的雙曲線. (Ⅰ)命題q為真命題,求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)若命題“p∨q”為真,命題“p∧q”為假,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ (ω>0)的最小正周期為π. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個單位,再向上平移1個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個零點,求b的最小值.
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【題目】在△ABC中, = +
(Ⅰ)求△ABM與△ABC的面積之比
(Ⅱ)若N為AB中點, 與 交于點P且 =x +y (x,y∈R),求x+y的值.
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