Question

13．近期世界各國軍事演習(xí)頻繁，某國一次軍事演習(xí)中，空軍同時(shí)出動(dòng)甲、乙、丙三架不同型號(hào)的戰(zhàn)斗機(jī)對一目標(biāo)進(jìn)行一次轟炸，已知甲擊中目標(biāo)的概率是$\frac{3}{4}$；甲，丙同時(shí)轟炸一次，目標(biāo)未被擊中的概率是$\frac{1}{12}$；乙、丙同時(shí)轟炸一次郡擊中目標(biāo)的概率是$\frac{1}{4}$，且甲，乙，丙是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立．
（1）求乙，丙各自擊中目標(biāo)的概率；
（2）甲，乙，丙同時(shí)對一目標(biāo)進(jìn)行一次轟炸，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用甲擊中目標(biāo)的概率是$\frac{3}{4}$；甲，丙同時(shí)轟炸一次，目標(biāo)未被擊中的概率是$\frac{1}{12}$；乙、丙同時(shí)轟炸一次郡擊中目標(biāo)的概率是$\frac{1}{4}$，且甲，乙，丙是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立，建立方程，求乙，丙各自擊中目標(biāo)的概率；
（2）X的取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記甲、乙、丙各自獨(dú)立擊中目標(biāo)的事件分別為A、B、C．則
由已知得P（A）=$\frac{3}{4}$，P（$\overline{A}\overline{C}$ ）=$\frac{1}{4}$[1-P（C）]=$\frac{1}{12}$，∴P（C）=$\frac{2}{3}$
由P（BC）=P（B）P（C）=$\frac{1}{4}$，得$\frac{2}{3}$P（B）=$\frac{1}{4}$，∴P（B）=$\frac{3}{8}$；
（2）X的取值為0，1，2，3，則
P（X=0）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}×\frac{5}{8}$=$\frac{5}{96}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{8}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{8}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{3}{8}$=$\frac{28}{96}$，
P（X=2）=$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{5}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{45}{96}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{18}{96}$，
∴EX=0×$\frac{5}{96}$+1×$\frac{28}{96}+2×\frac{45}{96}+3×\frac{18}{96}$=$\frac{43}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求概率是關(guān)鍵．