Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3，S_n+1-2=4a_n．設(shè)b_n=a_n+1-2a_n．
（1）證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并寫出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{lo{g}_{2}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=3，及S_n+1-2=4a_n，可得b₁=a₂-2a₁=1，又當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n-2=4a_n-1，與條件相減，即可證得{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列，并能寫出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知得T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n-2+c_2n）=（2⁰+2²+…+2^2n-2）+（1+3+…+2n-1），由此能求出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3，S_n+1-2=4a_n，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-2=4a_n-1，②
①-②，得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n=2a_n-4a_n-1，b_n+1=2a_n+1-4a_n=4a_n-8a_n-1，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，
∴數(shù)列{b_n}為公比為2的等比數(shù)列．
∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3，S_n+1-2=4a_n，
∴3+a₂-2=4×2，解得a₂=7，
∴b₁=a₂-2a₁=7-2×3=1，
∴$_{n}={2}^{n-1}$．
（2）解：∵數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{lo{g}_{2}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{n-1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n-2+c_2n）
=（2⁰+2²+…+2^2n-2）+（1+3+…+2n-1）
=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$+$\frac{n（1+2n-1）}{2}$
=$\frac{{4}^{n}-1}{3}+{n}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義是關(guān)鍵．