Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，則雙曲線的漸近線方程為y=±2$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=t，|AB|=3x，根據(jù)雙曲線的定義算出t=3x，x=a，Rt△ABF₂中算出cos∠BAF₂，可得cos∠F₂AF₁，在△F₂AF₁中，利用余弦定理與雙曲線的離心率公式加以計(jì)算，可得答案．

解答 解：設(shè)|AF₁|=t，|AB|=3x，則|BF₂|=4x，|AF₂|=5x，
根據(jù)雙曲線的定義，得|AF₂|-|AF₁|=|BF₁|-|BF₂|=2a，
即5x-t=（3x+t）-4x=2a，解得t=3x，x=a，
即|AF₁|=3a，|AF₂|=5a，
∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，得△ABF₂是以B為直角的Rt△，
∴cos∠BAF₂=$\frac{3}{5}$，
可得cos∠F₂AF₁=-$\frac{3}{5}$，
△F₂AF₁中，|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₂AF₁
=9a²+25a²-2×3a×5a×（-$\frac{3}{5}$）=52a²，
可得|F₁F₂|=$2\sqrt{13}$a，即c=$\sqrt{13}$a，
因此b=2$\sqrt{3}$a，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±2$\sqrt{3}$x．
故答案為：y=±2$\sqrt{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．