Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與y軸的交點(diǎn)為P，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由代入消元法，可得直線l的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲線C的極坐標(biāo)方程，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求得直線l與y軸的交點(diǎn)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合參數(shù)的幾何意義，即可得到所求值．

解答 解：（ 1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，由代入法可得直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y+3=0；
由ρ=2sinθ知，ρ²=2ρsinθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入上式，可得x²+y²=2y，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0；
（2）直線l與y軸的交點(diǎn)為P（0，3），
直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C的直角坐標(biāo)方程x²+y²-2y=0，得：t²+2$\sqrt{3}$t+3=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁、t₂，
則t₁t₂=3，故|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，注意運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用參數(shù)的幾何意義以及韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．