Question

4．已知正三角形ABC的頂點B，C在平面α內(nèi)，頂點A在平面α上的射影為A′，若△A′BC為銳角三角形，則二面角A-BC-A′大小的余弦值的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．

Answer 1

分析 設(shè)BC的中點是D，作出二面角的平面角，根據(jù)△A′BC為銳角三角形，得到∠BA'D＜45°，建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)BC的中點是D，連接AD，A'D，則∠ADA'是二面角A-BC-A′的平面角，設(shè)為θ，
設(shè)正三角形的邊長為2，則AD=$\sqrt{3}$，BD=1，A'D=$\sqrt{3}$cosθ，
∵△A'BC是等腰三角形，A'B=A'C，
∴要使△A′BC為銳角三角形，則∠BA'D＜45°，
則tan∠BA'D=$\frac{BD}{A'D}$=$\frac{1}{\sqrt{3}cosθ}$＜tan45°=1，
即cosθ＞$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵cosθ≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜cosθ≤1，
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．

點評 本題主要考查二面角的應(yīng)用，根據(jù)二面角的平面角的定義作出二面角的平面角，根據(jù)銳角三角形的定義找出對應(yīng)的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．