Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），且當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，f（x₁）-ax₁＞f（x₂）-ax₂恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a＞-$\frac{1}{2}$
• B． a＜-$\frac{1}{2}$
• C． a≥-$\frac{1}{2}$
• D． a≤-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-ax，只要使函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)即可，利用其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可求解a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，f（x₁）-ax₁＞f（x₂）-ax₂恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，即有g(shù)（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．
又函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x．
考查函數(shù)g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-2a}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}-1-2a}{x}$，
要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只要-1-2a≥0，即a≤-$\frac{1}{2}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒成立問題，屬于中檔題．