Question

10．過(guò)點(diǎn)A（0，a）作直線與圓E：（x-2）²+y²=1交于B，C兩點(diǎn)，在線段BC上取滿足BP：PC=AB：AC的點(diǎn)P．
（Ⅰ）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線2x-ay-3=0與圓E交于M、N兩點(diǎn)，求△EMN（E為圓心）面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)AB方程為y=kx+a，與圓的方程聯(lián)立得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)P軌跡方程．
（II）求出圓心E到直線MN的距離，得$|{MN}|=2\sqrt{1-{h^2}}$，由此能求出S_△EMN的最大值．

解答 解：（I）設(shè)AB方程為y=kx+a，與圓的方程聯(lián)立得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
設(shè)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{2ak-4}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}+3}}{{1+{k^2}}}$…（2分）
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），∵$\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}$，∴$\frac{{x-{x_1}}}{{{x_2}-x}}=\frac{x_1}{x_2}$…（3分）
∴$x=\frac{{2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{{a^2}+3}}{2-ak}$，∴$y=kx+a=\frac{2a+3k}{2-ak}$…（4分）
消去k，得2x-ay-3=0，
∴點(diǎn)P軌跡方程是2x-ay-3=0（在圓內(nèi)部分）．…（6分）
（II）圓心E到直線MN的距離為$h=\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+4}}}$…（7分）
∴$|{MN}|=2\sqrt{1-{h^2}}$…（8分）
∴${S_{△EMN}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{1-{h^2}}•h=\sqrt{{h^2}（1-{h^2}）}=\sqrt{-{h^4}+{h^2}}=\sqrt{-{{（{h^2}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$…．（10分）
∵$h∈（0，\frac{1}{2}]$∴當(dāng)$h=\frac{1}{2}$時(shí)，S_△EMN取得最大，最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．