Question

20．用數(shù)學歸納法證明：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除．

Answer 1

分析 先驗證n=1時命題是否成立，假設(shè)n=k時，命題成立，推導驗證n=k+1時命題成立即可．

解答 證明：（1）當n=1時，2¹⁺²•3¹+5×1-4=25，能被25整除，命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時，2^k+2•3^k+5k-4能被25整除．
那么n=k+1時，原式=2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4
=6×2^k+2•3^k+5（k+1）-4
=6[（2^k+2•3^k+5k-4）-5k+4]+5（k+1）-4
=6（2^k+2•3^k+5k-4）-30k+24+5k+5-4
=6（2^k+2•3^k+5k-4）-25（k-1）．
∵6（2^k+2•3^k+5k-4）、-25（k-1）能被25整除，
∴n=k+1時，命題成立．
綜上，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法證明，掌握證明步驟，由n=k成立推導n=k+1是證明的關(guān)鍵，屬于中檔題．