Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖像與軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數(shù)，，都有.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見證明

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，分別討論和，即可得出結(jié)果；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，得到時，在上單調(diào)遞增，不滿足條件；當時，得到的極大值，再由函數(shù)的圖像與軸相切，求出，將原問題轉(zhuǎn)為證明即可，再構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)的方法判斷其單調(diào)性，結(jié)合條件，即可得出結(jié)論成立.

（1）函數(shù)的定義域為 ，.

當時， ，在上單調(diào)遞增；

當時，由，得 .

若 ，，單調(diào)遞增；

若 ，，單調(diào)遞減

綜合上述：當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由（Ⅰ）知，當時，在上單調(diào)遞增，不滿足條件；

當時，的極大值為，

由已知得 ，故 ，此時.

不妨設(shè)，則

等價于 ，即證：

令 ， 則

故在單調(diào)遞減，所以.

所以對于任意互不相等的正實數(shù)，都有 成立.