Question

【題目】關(guān)于的函數(shù).

（Ⅰ）若為單調(diào)函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）討論的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）分兩種情況， 時， 時，分別求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合第一問的單調(diào)性，和函數(shù)圖像，從三方面來考慮函數(shù)的變化趨勢或， ， 或時。

解析：

（Ⅰ）的定義域為，

①時， 恒成立，故為單調(diào)遞增函數(shù).

②時，令，

.

當(dāng)時， ，

當(dāng)時， .

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴為的極大值點，也是上的最大值點.

若，得

∴時， ，則，∴在上單調(diào)遞減.

綜上，若為單調(diào)函數(shù)，實數(shù)的取值范圍是.

若使用變量分離法，參照標準給分.

（Ⅱ）由題設(shè)知， ，

①由（Ⅰ）知， 或時， 單調(diào)，故只一個零點.

②若得得，

則.

當(dāng)或時，即，

當(dāng)時.即.

在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴的極小值點，極大值點.

又，

根據(jù)函數(shù)的增長速度， 時， 時，

∴有兩個零點，一個在區(qū)間，另一個為.

③或時，有.

又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且， 時，

故必存在不為1的， ，使得，

故時， ，則； 時， ，則.

∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

時， ，故，由及時， 時知， 有三個零點.

時，

∵.

，即，

∴必有且， .

又時， 時，

故有三個零點.

綜上， 或等時， 只一個零點； 時， 有兩個零點； 或時， 有三個零點.