Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+mln（x+1）．
（1）若m=-1，試比較當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）與x³的大�。�
（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…${e}^{（1-n）{n}^{2}}$＜$\frac{n（n+3）}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=f（x）-x³，求導(dǎo)判斷g（x）的單調(diào)性和最大值；
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1）（x＞0），變形為e（1-x）x2＜x+1，累加計(jì)算即可．

解答 解：（1）m=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）．
令g（x）=f（x）-x³=x²-x³-ln（x+1）．
∴g′（x）=2x-3x²-$\frac{1}{x+1}$=-$\frac{3{x}^{3}+（x-1）^{2}}{x+1}$．
∵x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．∴g（x）＜g（0）=0．
∴f（x）-x³＜0，即f（x）＜x³．
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1），（x＞0）．
∴e${\;}^{{x}^{2}-{x}^{3}}$＜x+1．即e${\;}^{{x}^{2}（1-x）}$＜x+1．（x＞0）．
∴e${\;}^{{n}^{2}（1-n）}$＜n+1．（n∈N⁺）．
∴e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…${e}^{（1-n）{n}^{2}}$＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=（1+2+3…+n）+n
$\frac{（1+n）n}{2}+n$=$\frac{n（n+3）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．