Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx有極大值5，其導函數(shù)y=f′（x）的圖象經過（1，0），（2，0）點，如圖所示．
（1）求原函數(shù)取得極大值時x的值（要求列表說明）；
（2）求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極大值，求出x₀的值；
（2）根據(jù)圖象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三個方程，聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（1）由圖象可知，

x	（-∞，1）	1	（1，2）	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	遞增

在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．在（2，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減．
因此f（x）在x=1處取得極大值，所以x=1．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，
得 $\left\{\begin{array}{l}{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-9，c=12．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及觀察圖形的能力，屬于中檔題．