Question

8．某農(nóng)戶承包了一塊蘋果園，每年投入成本為10000元，蘋果產(chǎn)量和市場(chǎng)價(jià)格均具有隨機(jī)性，且互不影響，根據(jù)多年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其產(chǎn)量和市場(chǎng)價(jià)格如表：

產(chǎn)量（kg）	4000	5000
概率	0.5	0.5

蘋果的市場(chǎng)價(jià)格（元/千克）	8	10
概率	0.4	0.6

（1）設(shè)X表示這個(gè)果園每年的利潤(rùn)，求X的分布列和期望；
（2）求3年中至少有2年的利潤(rùn)不少于30000元的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意X的可能取值為22000，30000，40000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（2）這個(gè)果園每年的利潤(rùn)不少于30000元的概率p₁=P（X=30000）+P（X=40000）=0.8．由此能求出3年中至少有2年的利潤(rùn)不少于30000元的概率．

解答 解：（1）∵某農(nóng)戶承包了一塊蘋果園，每年投入成本為10000元，
∴根據(jù)多年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，由其產(chǎn)量和市場(chǎng)價(jià)格表，得：
X的可能取值為22000，30000，40000，
P（X=22000）=0.5×0.4=0.2，
P（X=30000）=0.5×0.6+0.4×0.5=0.5，
P（X=40000）=0.5×0.6=0.3，
∴X的分布列為：

X	22000	30000	40000
P	0.2	0.5	0.3

EX=22000×0.2+30000×0.5+40000×0.3=31400．
（2）由（1）知這個(gè)果園每年的利潤(rùn)不少于30000元的概率p₁=P（X=30000）+P（X=40000）=0.8．
∴3年中至少有2年的利潤(rùn)不少于30000元的概率為：
p=${C}_{3}^{2}0．{8}^{2}（1-0.8）+{C}_{3}^{3}（0.8）^{3}$=0.896．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．