Question

15．已知O為坐標原點，點M（1-$\sqrt{3}$cos2x，1），點N（1，a+sin2x）（x∈R）（a為常實數(shù)），且y=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$，
（1）求y關于x的函數(shù)關系式y(tǒng)=f（x）；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，f（x）的最大值是4，求a的值，并求此時x的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積和三角函數(shù)公式可得y=1+a+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）由x的范圍可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：（1）∵點M（1-$\sqrt{3}$cos2x，1），點N（1，a+sin2x），
∴y=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=1-$\sqrt{3}$cos2x+a+sin2x=1+a+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，f（x）取最大值1+a+2×$\frac{1}{2}$=4，解得a=2，
解2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$可得此時x=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的最值，屬基礎題．