Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin（π+ωx），cosωx），$\overrightarrow$=（sin（$\frac{3}{2}$π-ωx），-cosωx），ω＞0．設(shè)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小正周期為π．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）時，求f（x）的值域；
（Ⅲ）求滿足f（a）=0且0＜α＜π的角α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)量積的坐標表示求f（x）的解析式，化簡后結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），求得$2x-\frac{π}{6}$的范圍，進一步求f（x）的值域；
（Ⅲ）求出滿足f（α）=$sin（2α-\frac{π}{6}）$=0的α的取值集合，結(jié)合α的范圍求得角α的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin（π+ωx），cosωx），$\overrightarrow$=（sin（$\frac{3}{2}$π-ωx），-cosωx），得
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sin（π+ωx）•sin（$\frac{3}{2}$π-ωx）-cos²ωx
=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$$-\frac{1}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$$-\frac{1}{2}$．
∵f（x）的最小正周期為π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，即ω=1．
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）時，$2x-\frac{π}{6}∈（-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}）$，則函數(shù)的值域為[$-\frac{3}{2}，0$）；
（Ⅲ）由f（α）=$sin（2α-\frac{π}{6}）$=0，得$2α-\frac{π}{6}=kπ$，
∴$α=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，又0＜α＜π，
∴取k=0、1時，求得$α=\frac{π}{12}$、$\frac{7π}{12}$．

點評 本題考查平面向量的坐標運算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．