Question

5．已知函數(shù)f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$（a＞2）．當(dāng)x∈[0，ln3]時，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的差為$\frac{3}{2}$，則a=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$（a＞2）．去掉絕對值，討論2＜a＜3和a＞3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定f（x）的最值，再由條件解方程，可求參數(shù)的值，從而可得結(jié)論．

解答 解：由a＞2，f（x）=|e^x-a|+$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a+\frac{{a}^{2}}{2}，{e}^{x}≥a}\\{a-{e}^{x}+\frac{{a}^{2}}{2}，{e}^{x}＜a}\end{array}\right.$，
∵x∈[0，ln3]，∴e^x∈[1，3]，
∴e^x=a時，函數(shù)取得最小值為$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵x=0時，a-e^x+$\frac{{a}^{2}}{2}$=-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$；
x=ln3時，e^x-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$=3-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
當(dāng)2＜a＜3時，函數(shù)f（x）的最大值M=-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵函數(shù)f（x）的最大值M與最小值m的差為$\frac{3}{2}$，
∴2＜a＜3時，-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)a＞3時，lna＞ln3，此時f（x）在[0，ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在f（0）處取最大值，在f（ln3）處取最小值，
即有-1+a+$\frac{{a}^{2}}{2}$-（3-a+$\frac{{a}^{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{11}{4}$，不符合a大于3，所以舍去．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)最值的確定，其中確定函數(shù)f（x）的最大值M與最小值m是關(guān)鍵．