Question

4．若函數(shù)f（x）=e^x（mx³-x-2）在區(qū)間（2，3）上不是單調函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 對函數(shù)進行求導，令導函數(shù)f′（x）=0在區(qū)間（2，3）上有解，然后建立關系式，進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=e^x（mx³-x-2）+e^x（3mx²-1）=e^x（mx³+3mx²-x-3）=e^x•（mx²-1）（x+3），
若f（x）在區(qū)間（2，3）上不是單調函數(shù)，
則f′（x）=0在區(qū)間（2，3）上有解，
由f′（x）=e^x•（mx²-1）（x+3）=0得mx²-1=0，
即mx²=1，即x²=$\frac{1}{m}$，
則m＞0，此時x=±$\sqrt{\frac{1}{m}}$，
若f′（x）=0在區(qū)間（2，3）上有解，
則2＜$\sqrt{\frac{1}{m}}$＜3，平方得4＜$\frac{1}{m}$＜9，即$\frac{1}{9}$＜m＜$\frac{1}{4}$，
故實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$），
故答案為：（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性的應用，根據(jù)函數(shù)（x）在區(qū)間（2，3）上不是單調函數(shù)轉化為f′（x）=0在區(qū)間（2，3）上有解是解決本題的關鍵．